Formel för fallhastighet – Rekordhopp genom ljudvallen?

Apropå TV 8 februari om rekordhopp 121014 och ljudhastighet (noll utanför atmosfären?)

Vilken fart nedåt uppnår man som mest i fritt fall – med eller utan fallskärm? Det kan du själv räkna ut med en enkel formel, som förklaras här. Massmedia påstår att ljudvallen sprängdes i Baumgartners rekordhopp. Men är det sant?

I oktober 2012, några år efter hoppet till och från Turning Torso på videon ovan, slog Felix Baumgartner flera rekord med ett hopp från extremt hög höjd. Syftet var att uppnå ljudets hastighet. (DN1, DN2, DN3, GP1, GP2, NyTeknik1, NyTeknik2 – DN4, GP3, NyTeknik3, SvD, NyTeknik4-medTV).
Sprängdes verkligen ljudvallen?

Ljudvallen är ett tufft hinder för robusta rymd- och flygfarkoster. Dessutom varierar ljudhastigheten. Därför bör man vara skeptisk mot rubrikens fråga, som snarare var ett påstående i massmedias skildringar av Baumgartners hopp.
Exempelvis menar NyTeknik att den maximala fallhastigheten 1341km/h motsvarar Mach 1,24. Ny Teknik tycks här ha räknat med en ljudhastighet på (1341/1,24=) 1081km/h, dvs 300 meter per sekund. Det kanske är OK, som Lars Sundin skriver i en kommentar.  Men att “spränga ljudvallen” innebär en mängd problem utöver att uppnå ljudhastigheten. Se exempelvis Nationalencyklopedins uppslagsord ljudbang och  aerodynamik med hänvisningslänkar.

Under ett sådant fall som Baumgartners varierar luftens densitet (kilogram per kubikmeter) och en ansenlig del av de bromsande krafterna kommer från annat än tryckmotstånd, bland annat friktion. Det gör beräkningen mer komplex.

Låt oss därför utgå från lite lägre höjd och konstant densitet
(d =1,3kg per kubikmeter) för luften, vars tröghet ger en tryckskillnad och en bromsande kraft
(F i figuren).

Denna uppåtriktade kraft, “Luftmotståndet”, är också proportionell mot frontarean (A), mot luftmotståndskoefficienten (c) och mot hastigheten (v) i kvadrat. Se den översta formeln i figuren.

Tyngdkraften (Q i figuren) är lika med den fallande kroppens vikt eller massa (m) multiplicerad med tyngdaccelerationen (g).

När F=Q ökar inte fallhastigheten mer och vi kan beräkna dess värde enligt figurens formler:

v = kvadratroten ur
[2 m g / (c A d)]

Du får själv sätta in värden för fallskärmshopp, där frontarean (A) och luftmotståndskoefficienten (c) är mycket större än för en människa utan fallskärm.

Mina antaganden för skedet innan skärmen utlösts gav en slutlig fallhastighet på 280 kilometer i timmen. Lite väl snabbt kanske, men så här gick det till:

Med d =1.3 kg/m3 enligt ovan räknar jag med ungefärliga värden även för övriga storheter:
m = 80 kg
g = 10 m/s2
c = 0.4
A = 0.5 m2
De antagandena ger fallhastigheten
v=78 m/s vilket motsvarar 280 km/h.

Räkna själv med andra värden och kommentera gärna – exempelvis om varför jag fick så hög fart. Man brukar nämligen säga att 200 kilometer i timmen är vad en hoppare kommer upp i, om han eller hon väntar länge med att utlösa fallskärmen.

Den här mycket enkla överslagsberäkningen för fritt fall har förhoppningsvis ingen relevans för dig som tänker åka med Lisebergs nya bergbana, se artikeln i GP 🙂
… men fysiken är i princip likadan som för vårens fallande mynt.