Här är fysiken med formler för fritt fall – Räkna själv

Det är inte farligt att träffas i huvudet av ett mynt, som någon släppt från en skyskrapa. Så står det på Dagens Nyheters webb. Källan är en artikel som vetenskapstidningen Scientific American lagt ut den 5 mars.

Se också: Så fort faller du i luften – Här är formeln

DN-artikeln beskriver problemet som om svårigheten vore att bestämma myntets fallhastighet.  Men varken hos DN eller i källan hos Scientific American, framgår hur enkelt det är att räkna fram ett ungefärligt värde.

Inte heller i en liknande text på webbplatsen HowStuffWorks fanns de enkla ekvationer, som behövs för beräkningen. Därför hänvisar jag till den tidigare artikeln här på bildrullen.se
Så beräknas stormens kraft: Formel och video
Där framgår kanske att principerna är likadana för mycket annat som har fått falla fritt genom luften så länge att hastigheten blivit konstant .

Följande härledning gäller exempelvis för en fritt fallande människa med eller utan fallskärm. Fallskärmens area och luftmotståndskoefficient kommer in i beräkningarna och minskar hastigheten.

Även nedslagshastigheten för satellitskrot kan beräknas likadant.

Här handlar det alltså om ett mynt som släpps från hög höjd.

Myntet påverkas nedåt av tyngdkraften och uppåt av en luftkraft som vi brukar kalla luftmotstånd.

Tyngdkraften är proportionell mot myntets vikt eller massa (m – uppges i kilogram), som ju inte förändras under fallet.
Men luftkraften ökar med kvadraten på hastigheten.

När myntet fått upp så hög fart nedåt att luftkraften uppåt är lika stor som tyngdkraften nedåt, så har jämviktshastighet uppnåtts.

Den kan beräknas på följande sätt.

I fysikens formler brukar man använda bokstaven v för hastighet i meter per sekund.

Den kraft (F i Newton) som luften utövar på en kropp är proportionell mot arean (A i kvadratmeter) vinkelrätt mot rörelseriktningen (luftströmmen).

Luftkraften minskar om kroppen är strömlinjeformad.
I formeln för man därför in luftmotståndskoefficienten c (som är mycket mindre än 1 för bränslesnåla personbilar).

Sedan behöver vi också ett värde på luftens densitet ρ (uttalas rå), som uppges i enheten kilogram per kubikmeter. Vi nöjer oss med två siffrors noggrannhet och sätter ρ=1,3

Då blir luftkraften halva produkten av c, A, ρ och v i kvadrat:

F = 0,5 · ρ · v² · c · A

Om vi i den formeln sätter in v=u för jämviktshastigheten, så ska luftkraften  F vara lika stor som tyngdkraften.

Tyngdkraften är lika med myntets massa (m) multiplicerat med tyngdaccelerationen (g), som på jorden är 9,8 m/s² (meter per sekund per sekund eller meter per sekundkvadrat).

Det ger ekvationen

m · g = 0,5 · ρ · u² · c · A

Därur kan vi lösa jämviktshastigheten

u = √ [ 2 · m · g / (ρ ·c · A) ] 
där √ [ # ] betecknar kvadratroten ur #

😐 Vänligen överse med bristen på matematiska symboler!

Siffror för en svensk enkrona

För myntet svensk enkrona räknar jag med följande ungefärliga värden
massan m =  0,007 kg (cirka 7 gram)
arean A =   0,0005 m² (cirka 5 kvadratcentimeter för största ytan)

Med luftmotståndskoefficienten c = 0,5
blir jämviktshastigheten

u = √ [ 2 · 0,007 · 9,8 / (1,3 · 0,5 · 0,0005) ]
u = √ [ 0,1372/0,000325]

u = √ [ 422 ] = 20,5 (meter per sekund)
Det motsvarar 74 kilometer per timme

Eftersom beräkningen genomförts med enbart en siffras noggrannhet i flera ingångsvärden, bör resultatet avrundas till 70km/h.

Den uppskattningen (cirka 70km/h) kan jämföras med de 40km/h som Scientific American redovisar för ett fritt fallande pennymynt.

Vi är alltså i samma storleksordning och skulle komma närmare med högre luftmotståndskoefficient och mindre vikt.

Kommentera gärna om du hittar fel i mitt resonemang eller vill dela med dig av egna beräkningsexempel.